Question

如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线经过点A、B和D（4,）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ²（cm²）．

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为：;

（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;

②存在.R点的坐标是（3,﹣）;

（3）M的坐标为（1,﹣）．

【解析】

试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;

（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;

（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．

试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,

∵正方形的边长2,

∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,

把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,

解得a=,b=﹣,c=﹣2,

∴抛物线的解析式为：,

答：抛物线的解析式为：;

（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,

∴S=PQ2=PB2+BQ2,

=（2﹣2t）2+t2,

即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．

答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;

②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．

∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,

∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,

解得t=,t=（不合题意,舍去）,

此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,

若R点存在,分情况讨论：

（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,

则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,

即R（3,﹣）,

代入,左右两边相等,

∴这时存在R（3,﹣）满足题意;

（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,

则R（1,﹣）代入,,

左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）

综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．

答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;

（3）如图,M′B=M′A,

∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,

理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,

∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,

即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,

设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,

解得：k=,b=﹣,

∴y=x﹣,

抛物线的对称轴是x=1,

把x=1代入得：y=﹣

∴M的坐标为（1,﹣）;

答：M的坐标为（1,﹣）．

考点：二次函数综合题．