Question

已知平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=10,BD=8．

（1）若AC⊥BD,试求四边形ABCD的面积;

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°,求四边形ABCD的面积;

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”,且∠AOD=θ,AC=a,BD=b,试求四边形ABCD的面积（用含θ,a,b的代数式表示）．

Answer

（1）四边形ABCD的面积=40;

（2）四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20;

（3）四边形ABCD的面积=absinθ．

【解析】

试题分析：（1）因为AC⊥BD,所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半;

（2）过点A分别作AE⊥BD,CF⊥BD,根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积,那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积;

（3）作辅助线AE⊥BD,CF⊥BD,利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高,那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．

试题解析：（1）∵AC⊥BD,

∴四边形ABCD的面积=AC•BD=40;

（2）分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F．

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AO=CO=AC=5,BO=DO=BD=4．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,

∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．

∴S△AOD=OD•AE=×4××5=5．

∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20;

（3）如图所示,过点A,C分别作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F．

在Rt△AOE中,sin∠AOE=,

∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．

同理可得

CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．

∴四边形ABCD的面积

S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF

=BDsinθ（AO+CO）

=BD•ACsinθ

=absinθ．

考点：1.平行四边形的性质,2.三角形的面积,3.解直角三角形．