Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，―3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer

(1) ;(2) (3) P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论．

试题解析：⑴将B、C两点坐标代入得

解得：. 所以二次函数的表示式为：

⑵存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为，PP′交CO于E，

若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，连结PP′，则PE⊥OC于E，

∴OE＝EC＝，

∴

∴，

解得，（不合题意,舍去）

∴P点的坐标为

⑶过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为,则Q点的坐标为

当时，四边形ABPC的面积最大

此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.

考点: 二次函数综合题．