Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

Answer

(1) y=-x+120（60≤x≤87）；(2) W=-（x-90）2+900，87，891；（3）70≤x≤87．

【解析】

试题分析：（1）直接把点（65，55）、（75，45）代入一次函数解析式，联立方程组求解k，b的值，则函数解析式可求；

（2）由每一件的利润乘以销售量得利润函数，利用配方法求最大值；

（3）求解不等式，结合实际问题的定义域得到获得利润不低于500元时的销售单价x的范围．

试题解析：根据题意得 ，解得k=-1，b=120．

∴所求一次函数的表达式为y=-x+120（60≤x≤87）；

（2）每一件的获利为x-60，

则获得利润W=（x-60）•（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，

∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，

∴当x=87时，W=-（87-90）2+900=891，

∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；

（3）由-x2+180x-7200≥500，

整理得，x2-180x+7700≤0，解得，70≤x≤110，

∴要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，

∴销售单价x的范围是70≤x≤87．

考点: 函数模型的选择与应用.