Question

（12分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，2），点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE．

（1）填空：点D的坐标为          ，点E的坐标为           ；

（2）若抛物线y=aa²+ba+c（a≠0）经过A，D，E三点，求该抛物线的解析式；

（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动．

① 在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；

② 运动停止时，请直接写出此时的抛物线的顶点坐标．

Answer

（1）D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；

（2）；

（3）①S与x的函数关系式为：当0＜t≤时，S=5t2，当＜t≤1时，S=5t﹣，当1＜t≤时，S=﹣5t2+15t﹣；②运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）．

【解析】

试题分析：（1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标；

（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（3）本问非常复杂，须小心思考与计算：

①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考；

②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标．

试题解析：（1）由题意可知：OB=2，OC=1．

如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G．

易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）；

同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）．

∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）；

（2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2），

则，解得 ，

∴；

（3）①当点D运动到y轴上时，t=．

当0＜t≤时，如图（3）a所示．

设D′C′交y轴于点F

∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2，即=2

∵CC′=t，∴FC′=2t．

∴S△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t2

当点B运动到点C时，t=1．

当＜t≤1时，如图（3）b所示．

设D′E′交y轴于点G，过G作GH⊥B′C′于H．

在Rt△BOC中，BC=

∴GH=，∴CH=GH=

∵CC′=t，∴HC′=t﹣，∴GD′=t﹣

∴S梯形CC′D′G=（t﹣+t）=5t﹣

当点E运动到y轴上时，t=．

当1＜t≤时，如图（3）c所示

设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N

∵CC′=t，B′C′=，

∴CB′=t﹣，∴B′N=2CB′=t﹣

∵B′E′=，∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t

∴E′M=E′N=（﹣t）

∴S△MNE′=（﹣t）•（﹣t）=5t2﹣15t+

∴S五边形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′﹣S△MNE′=﹣（5t2﹣15t+）=﹣5t2+15t﹣

综上所述，S与x的函数关系式为：

当0＜t≤时，S=5t2，

当＜t≤1时，S=5t﹣，

当1＜t≤时，S=﹣5t2+15t﹣；

②当点E运动到点E′时，运动停止．如图（3）d所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

∴

∵OB=2，B′E′=BC=

∴

∴CE′=

∴OE′=OC+CE′=1+=

∴E′（0，）

由点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．

∵

∴原抛物线顶点坐标为（，）

∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）．

考点：二次函数综合题．