Question

小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上任意一点，连接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题：

(1)如图1，若△ABC是等腰直角三角形，则DE,DC有什么数量关系？请给出证明.

(2)如果换一个直角三角形，如图2，∠CBA＝30°，则DE,DC又有什么数量关系？请给出证明.

(3)由(1)、(2)这两种特殊情况，小明提出问题：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE, DC有什么数量关系？请给出证明.

Answer

(1)DE=DC，证明见解析；(2)DC=DE，证明见解析；(2)DC=DE，证明见解析.

【解析】

试题分析：(1) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，通过证明△CDF≌△EDG而得出结论；

(2) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，应用锐角三角函数定义和.特殊角的三角函数值，通过证明△CDF∽△EDG而得出结论；

(3) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，根据BC=mAC，通过证明△CDF∽△EDG而得出结论.

试题解析：(1)DE=DC，证明如下：

如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，

由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG=FA.

∵DF∥BC，△ABC是等腰直角三角形，∴DF=AF，即DG=DF.

又∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG.

∴△CDF≌△EDG. ∴DE=DC.

(2)DC=DE，证明如下：

如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，

由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG=FA.

∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.

又∵△ADF∽△ABC，∴.

∵∠CBA＝30°，∴.

∴.∴DC=DE.

(3) DC=DE. 证明如下：

如图，过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G，

由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形，∴DG=FA.

∵DE⊥DC，∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.

又∵△ADF∽△ABC，∴.

∵BC=mAC，∴.∴DC=DE.

考点：1. 矩形的判定和性质；2. 等腰直角三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4. 锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值；6.相似三角形的判定和性质.