Question

如图，是的内接三角形，，为  中上一点，延长至点，使．

（1）求证：；

（2）若，求证：．

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；

（2）根据已知条件得，∠CED=∠CDE=45°，则DE=CD，从而证出结论．

试题解析：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．

在△ECD中，∠E=∠CDE．

∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），

∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，

∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，

∴∠ACB=∠ECD，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，

∴△ACE≌△BCD．

∴AE=BD；

（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．

∴∠ECD=90°，

∴∠CED=∠CDE=45°，

∴DE=CD，

又∵AD+BD=AD+EA=ED，

∴AD+BD=CD．

考点：1.圆周角定理，2.全等三角形的判定与性质．