Question

在中，，，，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使，连结CD，则线段CD的长为__________.

Answer

或．

【解析】

试题分析：分两种位置关系进行讨论：

①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD 并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；

②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB， 过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

试题解析：①如图1，点A、D在BC的两侧，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=AB=×2=4，

∵∠ABC=45°，

∴BE=DE=AD=×4=2，BE⊥AD，

∵BC=1，

∴CE=BE-BC=2-1=1，

在Rt△CDE中，CD=；

②如图2，点A、D在BC的同侧，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AB=2，

过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BE=，

∵BC=1，

∴CE=BE+BC=2+1=3，

在Rt△CDE中，CD=，

综上所述，线段CD的长为或．

考点: 1.勾股定理；2.等腰直角三角形．