Question

已知抛物线y_n＝－(x－a_n)²＋a_n(n为正整数，且0＜a₁＜a₂＜…＜a_n)与x轴的交点为A_n－1(,0)和A_n(b_n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y₁＝－(x－a₁)²＋a₁与x轴的交点为A₀(0,0)和A₁(b₁,0)，其他依此类推．

(1) 求a₁、b₁的值及抛物线y₂的解析式；

(2) 抛物线y₃的顶点坐标为(____，___)；依此类推第n条抛物线y_n的顶点坐标为(_____，_____)(用含n的式子表示)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_____________；

(3) 探究下列结论：

①若用A_n－1 A_n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A₀A_{1=______，} A_n－1 A_{n=____________}；

②是否存在经过点A₁(b₁,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4；（2）（9，9），（n2，n2），y=x；（3）2，2n, y=x-2．

【解析】

试题分析：（1）因为点A0（0，0）在抛物线y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，则y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由点A1（2，0）在抛物线y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4．

（2）求得y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．因为所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，所以顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；

②设直线解析式为：y=kx-2k，设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，联立两式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．然后作辅助线，构造直角三角形，求出EF2的表述式为：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，可见当k=1时，EF2=18为定值．所以满足条件的直线为：y=x-2．

试题解析：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），

∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．

由已知a1＞0，∴a1=1，

∴y1=-（x-1）2+1．

令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，

∴A1（2，0），b1=2．

由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0），

∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，

∵a1=1，且已知a2＞a1，

∴a2=4，

∴y2=-（x-4）2+4．

∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．

（2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．

∵A1（2，0），

∴A2（6，0）．

由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0），

∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．

∵a2=4，且已知a3＞a2，

∴a3=9，

∴y3=-（x-9）2+9．

∴y3的顶点坐标为（9，9）．

由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），

依此类推，yn的顶点坐标为（n2，n2）．

∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，

∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．

（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），

∴A0A1=2．yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，

解得x=n2+n或x=n2-n，

∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．

②存在．

设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，

∴y=kx-2k．

设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F（x2，y2）两点，

联立两式得：kx-2k=-（x-n2）2+n2，整理得：x2+（k-2n2）x+n4-n2-2k=0，

∴x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．

过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2-x1，

FG=y2-y1=[-（x2-n2）2+n2]-[-（x1-n2）2+n2]=（x1+x2-2n2）（x1-x2）=k（x2-x1）．

在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，

即：EF2=（x2-x1）2+[k（x2-x1）]2=（k2+1）（x2-x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]，

将x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，

当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，

∴EF=3为定值，

∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．

∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．

考点: 二次函数综合题.