Question

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BF=．

【解析】

试题分析：（1）连结OD,AB为⊙O的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论；

（2）由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF．

试题解析：（1）连结OD,如图,

∵AB为⊙0的直径,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AB=AC,

∴AD平分BC,即DB=DC,

∵OA=OB,

∴OD为△ABC的中位线,

∴OD∥AC,

∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∴EF是⊙0的切线；

（2）∵∠DAC=∠DAB,

∴∠ADE=∠ABD,

在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,

∴AD=8,

在Rt△ADE中,sin∠ADE=,

∴AE=,

∵OD∥AE,

∴△FDO∽△FEA,

∴,即,

∴BF=．

考点：①切线的判定；②等腰三角形的性质；③圆周角定理；④解直角三角形．