Question

如图,已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象的顶点为M（2,1）,且过点N（3,2）．

（1）求这个二次函数的关系式;

（2）若一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,P为抛物线上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q,以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n,问:当n为何值时,线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？

Answer

（1）这个二次函数的关系式为y＝(x－2)2＋1;（2）当n＝时,DQ取得最小值,为．

【解析】

试题分析:（1）由于顶点为M（2,1）,故设这个二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋1,又因为过点N（3,2）,代入解析式即可求出a的值,从而得到解析式;

（2）用含有n 得代数式表示出P,Q坐标,求出PQ最小值,再证得△DPQ∽△OAB,根据相似三角形性质即可求得DQ的最小值．

试题解析:（1）设这个二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋1．

把x＝3,y＝2代入得a＋1＝2,∴a＝1．

∴这个二次函数的关系式为y＝(x－2)2＋1．

（2）由题意知P（n,n2－4n＋5）,Q（n,－n－4）．

∴PQ＝n2－4n＋5－(－n－4)＝n2－n＋9＝(n－)2＋．

∴当n＝时,PQ取得最小值,为．

易证△DPQ∽△OAB,

∴,

∵一次函数y＝－x－4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,

∴OB=4,OA=3,AB==5

∴DQ＝PQ=．

∴当n＝时,DQ取得最小值,为．

考点:二次函数与一次函数综合．