Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．

（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，

①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．

②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．

Answer

（1）1+x；（2）；（3）相切，理由见解析，.

【解析】

试题分析：（1）由△OAB和△BCD都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，又等边三角形BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式；

（3）①由EA与OB平行，且EF也与OB平行，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切，理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据“三线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证；

②根据等边三角形的“三线合一”得到DF垂直平分BC，所以C与D关于DF对称，所以GB为HC+HG的最小值，GB的求法是：由B，C及G三点在圆F圆周上，得到FB，FC及FG相等，利用一边的中线等于这边的一半得到三角形BCG为直角三角形，根据“三线合一”得到∠CBG为30°，利用cos30°和BC的长即可求出BG，而BC的长需要过B作BM垂直于x轴，根据等边三角形的性质求出BM及AM，表示出CM，在直角三角形BMC中，根据勾股定理表示出BC的长即可．

试题解析：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，

∴OB=AB，BC=BD，

∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，

∴∠OBC=∠ABD，

∴△OBC≌△ABD，

∴AD=OC=1+x；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，

又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中，tan60°=，则OE=，点E坐标为（0，-），A（1，0），

设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入得：

，解得：，

所以直线AE的解析式为；

（3）①根据题意画出图形，如图所示：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，则EF与EA所在的直线重合，∴点F为DE与BC的交点，

又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，

∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；

这时直线BO与⊙F相切，理由如下：

∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，

∴DF⊥BC，又EF∥OB，

∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直线BO与⊙F相切；

②根据题意画出图形，如图所示：

由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=BC，

∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，

∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，

过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，

∴M为OA中点，即MA=，BM=，MC=AC+AM=x+，

在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：

BC=，

∵DF垂直平分BC，∴B和C关于DF对称，∴HC=HB，

则HC+HG=BG，此时BG最小，

在直角三角形BCG中，BG=BCcos30°=．

考点:1. 一次函数综合题；2.等边三角形的性质；3.直线与圆的位置关系；4.轴对称-最短路线问题．