Question

如图，直角坐标系中Rt△ABO，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到Rt△A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

Answer

（1）y=-x2+x+2；（2）P（1，2）；（4）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等.

【解析】

试题分析：（1）利用旋转的性质得出A′（-1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；

（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；

（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．

试题解析：（1）（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，

又A（0，1），B（2，0），O（0，0），

∴A′（-1，0），B′（0，2）

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），

∵抛物线经过点A′、B′、B，

∴，解得：，

∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，

设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=-x2+x+2．

连接PB，PO，PB′，

∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y=x+（-x2+x+2）+1=-x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，

假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则

4=-x2+2x+3，

即x2-2x+1=0，

解得：x1=x2=1，

此时y=-12+1+2=2，即P（1，2）．

∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．

考点: 二次函数综合题．