Question

如图在平面直角坐标系内，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过A、B两点，且其顶点P在⊙C上。

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）确定此抛物线的解析式；

Answer

(1) A（1-，0），B（1+，0）；（2）y=-x2+2x+2．

【解析】

试题分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为H，在Rt△CAH中，已知圆的半径和CH的长（由C点坐标获得），利用勾股定理即可求得AH的长，进而可得到点A的坐标，B点坐标的求法相同．

（2）根据抛物线和圆的对称性知：C、P都在弦AB的垂直平分线上，已知了C点坐标和圆的半径，即可得到点P的坐标，而P为抛物线顶点，可将所求抛物线设为顶点坐标式，然后将A点坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而求出该抛物线的解析式．

试题解析: （1）过点C作CH⊥x轴，H为垂足；

又∵C（1，1），

∴CH=OH=1；（1分）

∴在Rt△CHB中，HB= ；

∵CH⊥AB，CA=CB，

∴AH=BH；

故A（1-，0），B（1+，0）．

（2）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；

∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+3，

由已知得抛物线经过点B（1+，0），

把点B（1+，0）代入上式，

解得a=-1，

∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2．

考点: 二次函数综合题