Question

如图所示，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；

（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

Answer

(1) y=x2-3x+2；(2)存在，理由见解析；（3）当t=1时，S△BCN的最大值为1．

【解析】

试题分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；

（2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）

（3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．

试题解析：：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），

∴x=2；

又∵tan∠OAC==2，

∴OA=1，即A（1，0）；

又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，

∴0=12+b×1+2，b=-3；

∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；

（2）存在．

过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，

∴x=-；

∴AE=OE-OA= ，

∵∠APC=90°，

∴tan∠PAE=tan∠CPD，

∴，

即 ，

解得PE=或PE=，

∴点P的坐标为（，）或（，）．

（3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，

∵点M是直线l′和线段BC的交点，

∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），

∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，

∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪（2-t）=MN▪（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），

∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，

∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．

考点: 二次函数综合题