Question

如图，一次函数y=-x+b与反比例函数的图象相交于A（-1,4）、B（4，-1）两点，直线l⊥x轴于点E（-4,0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC

（1）、求出b和k；

（2）、求证：△ACD是等腰直角三角形；

（3）、在y轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）3，-4；（2）证明见解析；（3）存在，P1（0，），P2（0，-）.

【解析】

试题分析：（1）将已知点的坐标代入到两个函数的解析式即可求得k和b的值；

（2））根据直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，求得点D（-4，7），根据直线x=-4与反比例函数y=- 交于点C确定点C（-4，1），从而确定AD=AC，然后根据勾股定理的逆定理确定△ACD是直角三角形，从而确定△ACD是等腰直角三角形；

（3）过点A作AP1∥BC，交y轴于P1，则S△PBC=S△ABC，根据B（4，-1），C（-4，1）确定直线BC的解析式为y=-x，然后设直线AP1的解析式为y=-x+b1，把A（-1，4）代入可求b1=，求得P1（0， ），作P1关于x轴的对称点P2，利用S△P1BC＝S△P2BCBC=S△ABC，确定P2（0，- ）；

试题解析：（1）【解析】
∵一次函数y=-x+b的图象经过点A（-1，4）

∴-（-1）+b=4，

 即b=3，

又∵反比例函数（k≠0）的图象经过点A（-1，4）

∴k=xy=（-1）×4=-4；

（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（-4，0）则直线l解析式为x=-4，

∴直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，则D（-4，7）

直线x=-4与反比例函数y=-交于点C，

则C（-4，1）

过点A作AF⊥直线l于点F，

∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）

∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3

又∵∠AFD=∠AFC=90°，

由勾股定理得：AC=AD=3 

又∵AD2+AC2=(3)2+(3)2=36

CD2=62=36

∴AD2+AC2=CD2

∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，

又∵AD=AC

∴△ACD是等腰直角三角形；

（3）【解析】
过点A作AP1∥BC，交y轴于P1，则S△PBC=S△ABC

∵B（4，-1），C（-4，1）

∴直线BC的解析式为y=-x

 ∵设直线AP1的解析式为y=-x+b1，把A（-1，4）代入可求b1=，

∴P1（0，），

∴作P1关于x轴的对称点P2，则S△P1BC＝S△P2BCBC=S△ABC，

故P2（0，-）；即存在P1（0，），P2（0，-）.

考点: 反比例函数综合题