Question

已知：如图①,在Rt△ACB中,∠C＝90º,AC＝6cm,BC＝8cm,点P由B出发沿BC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s；点Q由A出发沿AB方向向点B匀速运动,速度为1cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)（0＜t＜4）,解答下列问题：

（1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？

（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm²）,求y与t之间的函数关系式；

（3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.

Answer

（1）当t=时,PQ的垂直平分线经过点B；

（2）；

（3）存在,当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分．

【解析】

试题分析：（1）用含有t的代数式表示PB和BQ,再根据线段垂直平分线上的点到线段两段点的距离相等即可；

（2）先证△BQH∽△BAC,再根据相似三角形的对应边成比例即可；

（3）分两种情况讨论：当S△AQC=2S△PQC时和当2S△AQC =S△PQC时,分别求出t的值．

试题解析：（1）在Rt△ABC中,AB=．

∵PQ的垂直平分线经过点B

∴PB=BQ

∵PB=2t,PQ=10-t,

∴2t=10-t

解得：t=

即：当t=时,PQ的垂直平分线经过点B;

(2) 如图①过点Q作QH⊥BC于H．

∵∠C=90°,

∴AC⊥BC,

∴QH∥AC,

∴△BQH∽△BAC,

∴,

∴,

∴,

∴．

（3）存在

如图②过点Q作QM⊥BC于M,QN⊥AC于N,

∵QM⊥BC于M,∠ACB=90°,

∴QM∥AC,

∴△BQM∽△BAC,

∴,

∴,

∴,

∵QN⊥AC于N,∠ACB=90°,

∴QN∥BC,

∴△AQN∽△ABC,

∴,

∴,

∴,

∵线段CQ恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分,

∴S△AQC=2S△PQC或2S△AQC =S△PQC

当S△AQC=2S△PQC时,

∴

当2S△AQC =S△PQC时,

∴

综上可知：当时,线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分.

考点：三角形综合．