Question

提出问题：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,（其中n为奇数）,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？

                                          

探究发现：为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：

(1)如图②：四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？

如图③,连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,

所以S_△EGH=S_△EBH

因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,

所以S_△EFH=S_△DEH

所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH

即S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}

连接BD,

因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2：3,

所以S_△DBE=S_△ABD

因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2：3,

所以S_△BDH=S_△BCD

所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD =(S_△ABD+S_△BCD)

=S_{四边形ABCD}

即S_{四边形EBHD}=S_{四边形ABCD}

所以S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}=×S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCD}

（1）如图④：四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想：S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢                        

验证你的猜想：

（2）问题解决：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,（其中n为奇数）

那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间的关系为：                             （不必写出求解过程）

Answer

（1）S四边形EFHG=S四边形ABCD,证明见解析；

（2）S四边形EFHG=S四边形ABCD．

【解析】

试题分析：仿照上面的探究思路,类比求解．

试题解析：（1）四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,S四边形EFHG=S四边形ABCD,

如图④：连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:3,

所以S△EGH=S△EBH

因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:3,

所以S△EFH=S△DEH

所以S△EGH+S△EFH=S△EBH +S△DEH

即S四边形EFHG=S四边形EBHD

连接BD,

因为△DBE与△ABD高相等,底的比是3：5,

所以S△DBE=S△ABD

因为△BDH与△BCD高相等,底的比是3：5,

所以S△BDH=S△BCD

所以S△DBE +S△BDH=S△ABD+S△BCD = (S△ABD+S△BCD)

=S四边形ABCD

即S四边形EBHD=S四边形ABCD

所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD．

（2）在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,（其中n为奇数）那么S四边形EFHG=S四边形ABCD．

考点：三角形的面积．