Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若AC＝，AD＝4，求AB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根据切线判定推出即可；

（2）连接BC，证△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．

试题解析：（1）证明：联结OC

∵OA=OC，∴∠1=∠2

∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OC//AD

∴∠OCE=∠ADC

∵AD⊥DC   ∴∠ADC=90°

∴∠OCE=90°

∴CD是⊙O的切线．

（2）【解析】
联结BC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，

∴cos∠1=cos∠3，

即，∴

把AC＝，AD＝4代入，得AB=6．

考点: 1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．