Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求线段AC的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）要证CD为⊙O的切线，只要证CD垂直于对切点的半径，故作辅助线：连接OC，由三角形三个内角和为180°的性质和等腰三角形的判定和性质，即能证出∠DCO =90°，从而得证；

（2）要求AB的长，就要考虑它是三角形中的线段或与三角形中的线段有关系，根据垂径定理，只要作OF⊥AB，即有AB=2AF，故只要求出AF即可，由勾股定理和等量代换即可求得.

试题解析：（1）如图，连接OC,

∵点C在⊙O上，OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°. ∴∠CAD+∠DCA=90°.

∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO.

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线.

（2）如图，过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°.

∴四边形OCDF为矩形，∴OC=FD，OF=CD.

∵CD=2AD，设AD=x，则OF=CD=2x，

∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x.

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化简得：，解得或（舍去）.

∴AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.

考点：1.三角形内角和定理；2.等腰三角形的判定和性质；3.圆的切线的判定；4.矩形的判定和性质；5.勾股定理；6.等量代换；7.解一元二次方程；8.垂径定理.