Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0),B(4，0),C(0，-4),⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心。

⑴求抛物线的解析式；

⑵求阴影部分的面积；

⑶在正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=K,△CPQ的面积为S,求S关于K的函数关系式，并求出S的最大值。

Answer

（1）y==x2-3x-4；（2）；（3）S=-k2+2k，2.

【解析】

试题分析：（1）已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数，先求圆心角∠AMC的度数，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根据圆周角定理可得出∠AMC=90°．再求半径，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半径的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积．

（3）求三角形CPQ的面积可以PQ为底，以OP为高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示长OP的长，据此可求出S与k的函数关系，根据函数的性质即可求出S的最大值．

试题解析：（1）由抛物线经过A（-1，0），B（4，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），

将C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1．

∴y=（x+1）（x-4）=x2-3x-4．

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）．

∴OB=OC=4，OA=1

∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°

∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17

∴AM2=CM2=，

∴S阴影=．

（3）∠OBC=45°，PQ⊥x轴；

∴BP=PQ=k，

∴S=k•（4-k）=-k2+2k．

∴当k=2时，S最大值=2．

考点: 二次函数综合题.