Question

阅读材料：求1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³的值．

【解析】
设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹²＋2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：

2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2²⁰¹³＋2²⁰¹⁴

将下式减去上式得2S﹣S＝2²⁰¹⁴﹣1

即S＝2²⁰¹⁴﹣1

即1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2²⁰¹³＝2²⁰¹⁴﹣1

请你仿照此法计算：

（1）1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰

（2）1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer

（1）211－1；（2）（3n+1﹣1）．

【解析】

试题分析： （1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；

（2）同理即可得到所求式子的值．

试题解析：（1）设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，

将等式两边同时乘以2得2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，

将下式减去上式得：2S﹣S＝211－1，即S＝211－1，

则1＋2＋22＋23＋24＋…＋210＝211－1；

（2）设S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，

两边乘以3得：3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，

下式减去上式得：3S－S＝3n＋1－1，

即S＝ (3n＋1－1)，则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1﹣1）．

考点：同底数幂的乘法．