Question

如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且（m-4）²+n²-8n＝-16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.

（1）求A点的坐标（3分）；

（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE（4分）

（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE-EF的值不变；‚OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值（5分）.

Answer

（1）（4，4）；（2）证明见解析；（3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.

【解析】

试题分析：（1）可将（m-4）2+n2-8n＝-16，通过移项、因式分解变形为：（m-4）2+（n-4）2=0.结合图象可知m、n都大于0，由此可得m=n=4.

（2）因为OF+BE＝AB，所以OF＝AE，由（1）易得四边形COAB是正方形；所以由SAS得△ACE≌△OCF，从而可证CF＝CE.

（3）因为AC=OC，可想到绕点C将△ACE顺时针旋转900,到△OCH位置，如图，可证△HCF≌△ECF得HF=EF，而HF=AE+OF，所以OF+AE-EF=0.

试题解析：

【解析】
（1）∵（m-4）2+n2-8n＝-16，

∴（m-4）2+（n-4）2=0.

∴m＝4，n＝4.

证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），

∴AB＝AC＝OC＝OB，

∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，

∴四边形COAB是正方形

∴∠A＝90°

∵OF+BE＝AB＝BE+AE

∴AE＝OF，

∴△COF≌△CAE

∴CF＝CE.

（3）OF+AE-EF值不变，且OF+AE-EF=0.如图，

证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，

∵CO=CA  ∠COH=∠CAE

∴△ACE≌△OCH

∴∠1＝∠2

CH＝CE，AE=OH

又∵∠EOF＝45°

∴∠HCF＝45°

∴△HCF≌△ECF

∴HF＝EF

∴OF+AE=OF+OH=HF=EF

即OF+AE-EF=0.

考点：1、正方形性质.2、三角形全等的判定.