Question

△ABC中，射线AD平分∠BAC，AD交边BC于E点.

（1）如图1，若AB＝AC，∠BAC＝90°，则（  ）；

（2）如图2，若AB≠AC，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，若AB>AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD为锐角，DH⊥AB于H，则线段AB、AC、BH之间的数量关系是（              ），并证明.

Answer

（1）=；（2）成立，证明见解析；(3) ，证明见解析.

【解析】

试题分析：

由,平分,根据等腰三角形“三线合一”可得：.所以.

(2)求与、与的比，由图可知.四条线段均为和的两边，可用两三角形的两组边与高分别表示面积.如图，过点分别作于点，于点，过点作于点，由平分可得；然后根据面积公式可得：

；.所以.故图（1）中的结论成立.

（3）如图，过点作交的延长线于点，此时易证得，因为，由同角的余角相等，得.进而由可证,得；此时应考虑将等式转化为用、、来表示，即,；所以，移项可得.

试题解析：（1）【解析】
∵平分

∴

∴

（2）图（1）中的结论成立.

证明：如图，过点分别作于点，于点，过点作于点，

∵平分

∴

根据面积公式可得，；

所以.故图（1）中的结论成立.

（3）证明：如图，过点作交的延长线于

∵平分，，

∴

∵在和中

.

∴

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴

考点：1、角平分线的性质.2、三角形的面积公式的灵活运用.3、三角形全等的判定.4、正方形的判定及性质