Question

如图，在四边形ABCD中，，，DE交BC于E，交AC于F，，.

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若，求△ACD的面积.

Answer

详见解析

【解析】

试题分析：(1)要证△FCD是等腰三角形，可证DF=CF或∠FCD=∠FDC.由DE//AB，∠B=900，可得∠DEC=900，又因为∠CDE=∠ACB=300,所以∠DCF=300,,故∠FCD=∠FDC.

求△ACD的面积，应选择一条可求长度的边，并作出这条边上的高，进而利用三角形的面积公式求解.由（1）可知：∠DCA=∠ACB=300，∠B=900，根据角平分线的性质可以想到过点A作CD边的垂线AG=AB，且由条件易用ASA证△CBA≌△DEC，得AC=CD，再利用含300的直角三角形性质求出AC=8，AG=AB=4,即可求解.

试题解析：

证明：∵DE//AB、∠B=900

∴∠B=∠DEC=900

∴∠CDE=∠ACB=300

∴∠DCE=600,

∴∠DCF=600-300=300

∴∠DCF=∠CDF

∴△FCD是等腰三角形.

【解析】
过点A作AG⊥CD交CD于点G.

∵∠DCF=∠ACB=300

∠B=∠DEC=900

∴AB=AG

∵AB=4

∴AG=4   AC=8

∵在△CBA和△DEC中

∠B=∠DEC

DE=BC

∠ACB=∠CDE

∴△CBA≌△DEC

∴AC=CD=8

∴△ACD的面积=.

考点：1、等腰三角形的判定.2、含直角三角形的性质.3、全等三角形的判定.