Question

如图，在中，，，，AF=10cm， AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从点向点运动，动点以1cm/s的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

（1）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有；

（2）当t取何值时，与全等；

（3）在（2）的前提下，若，,求。

Answer

(1)证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

(2)若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．

（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

试题解析：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，

∴，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴AE=2tcm，CG=tcm，

∴，即，

∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．

（2）【解析】
设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG

①当M在线段CG的延长线上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，

即10-2t=4-t，

解得：t=6，

当t=6时，MG=-2，所以舍去；

②当M在线段CG上时，

∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，

∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），

即10-2t=t-4，

解得：t=，

综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．

（3）∵t=，

∴AE=2t=（cm），

∵DF=DM，

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，

∵AC=14cm，

∴AB=（cm），

∴BF=AB-AF=-10=（cm），

∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，

∴S△BDF=（cm2）．

考点: 1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.角平分线的性质．