Question

如图，分别以△ABC的边AB、AC向外作等边△ABE和等边△ACD，直线BD与直线CE相交于点O．

(1)求证：CE＝BD；

(2)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ABC和∠ACB都是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠BOC的度数：

(3)如果当点A在直线BC的上方变化位置，且保持∠ACB是锐角，那么∠BOC的度数是否会发生变化？若变化，请直接写出变化的结论，不需说明理由；若不变化，请直接写明结论．

Answer

（1）证明详见解析；（2）不变化，∠BOC=120°；（3）变化，当∠ABC＞120°时，∠BOC=60°， 当∠ABC=120°时，∠BOC不存在，当∠ABC＜120°时，∠BOC=120°.

【解析】

试题分析：（1）由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性质得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证. （2）∠BOC的度数不会发生变化，都为120°，由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠BOC为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠BOC =∠ADC+∠ACD，可求出∠BOC的度数．（3）变化，分∠ABC＞120°，∠ABC=120°，∠ABC＜120°三种情况讨论.

试题解析：（1）∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC.

∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.

在△AEC和△ABD中，，

∴△AEC≌△ABD（SAS）.∴EC=BD.

（2）不变化，∠BOC=120°.

∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°.

∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB.

∵∠BOC为△COD的外角，

∴∠BOC=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD

=∠ADC+∠ACD=120°.

（3）变化.

当∠ABC＞120°时，∠BOC=60°；

当∠ABC=120°时，∠BOC不存在；

当∠ABC＜120°时，∠BOC=120°.

考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.三角形外角性质；4分类思想的应用．