Question

（1）观察与发现：将矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B′处(如图)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（2）实践与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为（9，3），请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．

Answer

（1）同意，理由见解析；（2），y=3x-12．

【解析】

试题分析：（1）同意．

理由：因为AB∥OC，所以∠AEF=∠EFC．根据折叠性质，有∠AFE=∠EFC．所以∠AEF=∠AFE，AE=AF．△AEF为等腰三角形．

（2）过点E作EG⊥OC于点G．设OF=x，则CF=9-x；由折叠可知：AF=9-x．

在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2 即：32+x2=（9-x）2，解得x=4，AE=AF=9-x=5，FG=OG-OF=5-4=1．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2=10，求出EF＝

设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），因为点E（5，3）和点F（4，0）在直线EF上，所以，代入解得解得k，b，进而求出解析式.

试题解析：（1）同意．

理由：∵AB∥OC，∴∠AEF=∠EFC．

根据折叠性质，有∠AFE=∠EFC．

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF．

∴△AEF为等腰三角形．

（2）过点E作EG⊥OC于点G．

设OF=x，则CF=9-x；

由折叠可知：AF=9-x．

在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2

∴32+x2=（9-x）2，

∴x=4，9-x=5．

∴AE=AF=5，

∴FG=OG-OF=5-4=1．

在Rt△EFG中，

EF2=EG2+FG2=10，

∴EF＝

设直线EF的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵点E（5，3）和点F（4，0）在直线EF上，

∴3=5k+b，0=4k+b，

解得:k=3，b=-12．

∴y=3x-12．

考点：1.折叠问题.2.一次函数的解析式.3.勾股定理.