Question

如图，在等腰直角三角板ABC中，斜边BC为2个单位长度，现把这块三角板在平面直角坐标系xOy中滑动，并使B、C两点始终分别位于y轴、x轴的正半轴上，直角顶点A与原点O位于BC两侧．

（1）取BC中点D，问OD+DA的长度是否发生改变，若会，说明理由；若不会，求出OD+DA长度；

（2）你认为OA的长度是否会发生变化？若变化，那么OA最长是多少？OA最长时四边形OBAC是怎样的四边形？并说明理由；

（3）填空：当OA最长时A的坐标是（     ，     ），直线OA的解析式是               ．

Answer

(1)2；（2）2,正方形,理由见解析；（3）y=x．

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到OD=BC=2×=1，则不随三角板的移动而改变，因而OD+DA不会改变；

（2）根据两点之间线段最短，即可得到当O、D、A三点在一直线上时，OA最长，即可求解；

（3）当O、D、A三点在一直线上时，OA最长，且此时OA是第一象限的角平分线，据此即可求解．

试题解析：

【解析】
（1）OD=BC=2×=1，则OD+DA=2．

（2）∵OD=DA=1始终不变，

∴当O、D、A三点在一直线上时，OA最长等于2．

这时，四边形OBAC的对角线相交于点D，有DO=DB=DA=DC=1，OA=BC=2，

∵四边形OBAC是矩形，

又∵AB=AC，

∴四边形OBAC是正方形．

（3）A（，）

直线OA是∠BOC的角平分线，则解析式是：y=x．

考点：1.一次函数综合题；2.等腰直角三角形3.矩形的性质及正方形的判定．