Question

如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

求证：（1）∠EDC=∠ECD;

（2）OC=OD;

（3）OE是线段CD的垂直平分线.

Answer

（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）要想证明∠EDC=∠ECD,只要证明DE=CE,由题, 点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，由角平分线上的点到两边的距离相等得DE=CE;（2）要想证明OC=OD,只要证明∠ODC=∠OCD,由题因为EC⊥OA，ED⊥OB，所以∠ODE=∠OCE=90°,由(1)知∠EDC=∠ECD,所以∠ODE-∠EDC =∠OCE

-∠ECD,即∠ODC=∠OCD;（3）因为点E是∠AOB的平分线上一点，OC=OD,所以OE既是CD边上的高,也是CD边上的中线,所以OE是CD的垂直平分线.

试题解析：（1）由题, 点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，

∵角平分线上的点到两边的距离相等,

∴DE=CE;

（2）由题∵EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠ODE=∠OCE=90°,

由(1)知∠EDC=∠ECD,

∴∠ODE-∠EDC =∠OCE-∠ECD,

即∠ODC=∠OCD;

（3）∵点E是∠AOB的平分线上一点，OC=OD,

∴OE既是CD边上的高,也是CD边上的中线,

∴OE是CD的垂直平分线.

考点：1.角平分线的性质;2.直角三角形的全等;3.等腰三角形.