Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．

（1）试说明四边形AECG是平行四边形；

（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形?

Answer

（1）说明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题考查的知识点较多，有矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、菱形的性质、翻折变换（轴对称）等知识点.灵活掌握和应用这些性质、定理是解题的关键.

因为对折，所以 ,，又,可得AG//CE,即可得出四边形AECG是平行四边形.

由菱形的定义之可知F，H两点重合，可得出AC=2BC,由此可计算边BC的长.

试题解析：

【解析】
（1）由题意，得∠GAH=∠DAC, ∠ECF=∠BCA（1分）

∵四边形ABCD为矩形

∴AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠GAH=∠ECF

∴AG∥CE（2分）

又∵AE∥CG

∴四边形AECG是平行四边形.

∵四边形AECG是菱形

∴F、H重合

∴AC＝2BC（4分）

在Rt△ABC中,设BC＝x,则AC＝2x

在Rt△ABC中

即，

解得x＝，(x=舍去）

即线段BC的长为cm.

考点：1、平行四边形的判定.2、菱形的性质.3、勾股定理.