Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线； ②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S_△DAC：S_△ABC=1：3

A．1            B．2         C．3               D．4

Answer

D.

【解析】

试题分析： ①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，

S△DAC=AC•CD=AC•AD，∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．

故选D．

考点：1．角平分线的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．作图—基本作图．