Question

如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC＝2，P是线段OA上一动点，连结PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连结DF交AB于点G．

（1）当P是OA的中点时，求PE的长；

（2）若∠PDF＝∠E，求△PDF的面积．

Answer

（1）；（2）2或.

【解析】

试题分析：（1）当P是OA的中点时，根据切线的性质，可证得△CBP∽△PBE，从而得到，在Rt△PBE中，由勾股定理可求得PE的长；（2）分弦DF不是直径和弦DF恰为直径两种情况讨论即可.

试题解析：（1）当P是OA的中点时，PB＝3.

∵CE是⊙O的切线，∴AB⊥CE.

又∵CP⊥PE，∠CPB＝∠E，∴△CBP∽△PBE.

∴，∴.

∴在Rt△PBE中，.

（2）在Rt△PDG中，由∠PDF＝∠E＝∠CPB，可知∠GPF＝∠GFP，

∴GD＝GP＝GF.

直径AB平分弦DF，有两种可能.：

①弦DF不是直径，如图①，则AB⊥DF，于是PD＝PF，∠GPD＝∠GDP＝45º.

∴BP＝BC＝2＝BO，点P与点O重合.∴S△PDF＝×2×2＝2.

②弦DF恰为直径，如图②，则点P即为点A.而BC＝2，BP＝DF＝4，∴BE＝8，CE＝10.

∴S△PCE＝×10×4＝20，∴由△PCE∽△PFD得,S△PDF＝.

考点：1.动点问题；2. 切线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.垂径定理；6.三角形的面积；7.分类思想的应用.