Question

如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分ÐABC，P是BD上一点，过点P作PM^AD，PN^CD，垂足分别为M、N.

（1）求证：ÐADB＝ÐCDB；

（2）若ÐADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.

试题解析：（1）∵BD平分ÐABC，∴ÐABD=ÐCBD.

又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD ≌△CBD（SAS）.∴ÐADB=ÐCDB.

（2）∵PM^AD，PN^CD，∴ÐPMD=ÐPND=90°.

又∵ÐADC=90°，∴四边形MPND是矩形.

∵ÐADB=ÐCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN. ∴四边形MPND是正方形.

考点：1.全等三角形的判定和性质；2.正方形的判定.