Question

如图①，已知线段AB=8，以AB为直径作半圆O，再以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D。

（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；

（2）连接PC，当∠ACP=60⁰时，求弧AD的长；

（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer

（1）AP=PD,理由见解析; （2） ;（3）.

【解析】

试题分析：（1）AP=PD．理由如下：如图①，连接OP．利用圆周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性质证得AP=PD;

（2）由三角形中位线的定义证得CP是△AOD的中位线，则PC∥DO，所以根据平行线的性质易求弧AD所对的圆心角∠AOD=60°，从而求出弧AD的长;

（3）分类讨论：点E落在线段OA和线段OB上，这两种情况下的y与x的关系式．这两种情况都是根据相似三角形（△APO∽△AED）的对应边成比例来求y与x之间的函数关系式.

试题解析：（1）AP=PD. 理由如下：

如图①，连接OP，OD，

∵OA是半圆C的直径，∴∠APO=90°，即OP⊥AD.

又∵OA=OD，∴AP=PD.

（2）如图①，连接PC、OD.由（1）知，AP=PD.

又∵AC=OC，∴PC∥OD. ∴∠AOD=∠ACP=60°.

∵AB=8，∴OA=4.∴弧AD的长=.

（3）分两种情况：

①当点E落在OA上（即0＜x≤时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．

又∵∠A=∠A，∴△APO∽△AED.∴.

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4﹣y，∴.∴（0＜x≤）.

②当点E落在线段OB上（即＜x＜4）时，如图③，

连接OP，同①可得，△APO∽△AED.∴.

∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，∴ .∴（＜x＜4）.

综上所述，y与x之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题;2.圆周角定理;3.等腰三角形的性质;4.三角形中位线定理;5.平行线的性质;6.弧长的计算;7.由实际问题列函数关系式;8.相似三角形的判定和性质;9.分类思想的应用.