Question

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线AB上一动点（点D不与A、B重合）．以CD为边作菱形CDEF，使∠DCF=60°，连接AF．

（1）如图1，当点D在边AB上时，

 

①求证：∠BDC=∠AFC；

②请直接判断结论∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？

（2）如图2，当点D在边BA的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠BAC＋∠ACD是否成立？请写出∠AFC、∠BAC、∠ACD之间存在的数量关系，并写出证明过程；

（3）如图3，当点D在边AB的延长线上时，且点C、F分别在直线AB的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠BAC、∠ACD之间存在的等量关系．

Answer

（1）①详见解析；（2）成立；（2）不成立，∠AFC=∠BAC-∠ACD；（3）∠AFC+∠ACD=2∠BAC

【解析】

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质可得AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，根据菱形的性质及∠DCF=60°可得CF=CD，∠ACF=∠BCD，即可证得△BCD≌△ACF，从而可以证得结论；

②由△BCD≌△ACF可得∠AFC=∠BDC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可证得结论；

（2）同（1）可证得△BCD≌△ACF，即可得到∠AFC=∠BDC，再结合三角形的外角的性质即可作出判断；

（3）先根据题意画出图形，再结合（1）（2）中的结论即可作出判断.

试题解析：（1）①∵△ABC为等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC；

②∵△BCD≌△ACF

∴∠AFC=∠BDC

∵∠BDC=∠BAC＋∠ACD

∴∠AFC=∠BAC＋∠ACD成立；

（2）∠AFC=∠BAC＋∠ACD不成立

∵△ABC为等边三角形

∴AB=BC=AC，∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°

∵菱形CDEF，∠DCF=60°

∴CF=CD，∠ACF=∠BCD

∴△BCD≌△ACF

∴∠BDC=∠AFC

∴∠AFC=∠BDC=∠BAC-∠ACD；

（3）如图所示：

则有∠AFC+∠ACD=2∠BAC.

考点：1.全等三角形的性质和判定；2.等边三角形的性质；3.菱形的性质