Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．

（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析;(2)当AP=2时, △ADQ的面积的面积是正方形ABCD面积的;(3) 当CP=4-4时，△ADQ是等腰三角形.

【解析】

试题分析：（1）正方形的对角线与边的夹角是45°,在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,∴△ADQ≌△ABQ.(2)△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，则QE =QF，AD×QE=S正方形ABCD=,∴QE=,由△DEQ∽△DAP得,

解得AP=2,∴AP=2时，△ADQ的面积的面积是正方形ABCD面积的.（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA,此时△ADQ是等腰三角形,②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.③如图，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ,∵AD∥BC,∴∠ADQ=∠CPQ,又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,∴∠CQP=∠CPQ,∴CQ=CP=x,∵AC=,AQ=AD=4,∴z=CQ=AC-AQ=4-4,即当CP=4-4时，△ADQ是等腰三角形.

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD=AB,∠DAQ=∠BAQ,AQ=AQ,

∴△ADQ≌△ABQ.

(2)【解析】
△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的时，

过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F，

则QE=QF，

AD×QE=S正方形ABCD=,

∴QE=,

由△DEQ ∽△DAP得,

解得AP=2,

∴AP=2时，△ADQ的面积的面积是正方形ABCD面积的.

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,

①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA,

此时△ADQ是等腰三角形,

②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，

此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形.

③【解析】
如图，设点P在BC边上运动到CP=x时，有AD=AQ,

∵AD∥BC,

∴∠ADQ=∠CPQ,

又∵∠AQD=∠CQP,∠ADQ=∠AQD,

∴∠CQP=∠CPQ,

∴CQ=CP=x,

∵AC=,AQ=AD=4,

∴z=CQ=AC-AQ=4-4,

即当CP=4-4时，△ADQ是等腰三角形.

考点：1.正方形;2.三角形的相似.