Question

阅读下列材料：

小华遇到这样一个问题,如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．

小华是这样思考的：要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是,如图2,将△APC绕点C顺时针旋转60º,得到△EDC,连接PD.BE,则BE的长即为所求．

（1）请你写出图2中,PA+PB+PC的最小值为       ;

（2）参考小华的思考问题的方法,解决下列问题：

①如图3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹,画出一条即可）;

②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

Answer

(1)PA+PB+PC的最小值为;

(2)①图形见解析;②当PA+PB+PC值最小时PB的长为．

【解析】

试题分析：（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC,则∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,再证明∠BCE=90°,然后在Rt△BCE中,由勾股定理求出BE的长度,即为PA+PB+PC的最小值;

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段;

②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC,则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形,得到PE=CE=CP,然后根据菱形.三角形外角的性质,等腰三角形的判定得出BP=CP,同理,得出DE=CE,则BP=PE=ED=BD．

试题解析：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,

∴△APC≌△EDC,

∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,

∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,

∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,

∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．

在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5,

∴,

即PA+PB+PC的最小值为;

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE.DE,则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段;

②当B.P.E.D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD．

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,

∴△APC≌△DEC,

∴CP=CE,∠PCE=60°,

∴△PCE是等边三角形,

∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°．

∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°,

∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°,

∴∠PCB=∠CBP=30°,

∴BP=CP,

同理,DE=CE,

∴BP=PE=ED．

连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD．

在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4,

∴BO=BC•cos∠OBC=,

∴BD=2BO=,

∴BP=BD=．

即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．

考点：几何变换综合题．