Question

如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜120°），旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF（如图2）．已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8．

（1）在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；② 弧EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是                （填序号）；

（2）当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．

Answer

(1) ①②④;(2) α=90°,S△AEF=8．  

【解析】

试题分析：(1)在圆中,一条弧所对的弦,圆心角,圆周角,都有相应的联系,若其中的一个发生变化,另外的量也发生相应的变化,由题,在整个旋转过程中，∠A为弦切角或圆周角，且大小不变，所以其所对的弦、弧不变,即①②正确；根据勾股定理得：O到EF的距离是，因为OB不变，EF不变，所以O到EF的距离不变,所以④正确；而在整个旋转过程中，∠AEF和∠AFE都在改变，大小不能确定，所以③错误；故答案为：①②④;(2) α=90°,由题，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，且点C与点E重合，因此∠AFE=90°, AC=8，∠BAC=60°，∠ACF=30°,所以AF=AC=4，由勾股定理知EF=，所以S△AEF=×4×=8． 

试题解析：（1）∵在整个旋转过程中，∠A为弦切角或圆周角，且大小不变，

∴其所对的弦、弧不变,

∴①②正确；

∵根据勾股定理得：O到EF的距离是，

∵OB不变，EF不变，

∴④正确；

∵在整个旋转过程中，∠AEF和∠AFE都在改变，大小不能确定，

∴③错误；

故答案为：①②④.

（2）

α=90°,

依题意可知，△ACB旋转90°后AC为⊙O直径，

且点C与点E重合，

因此∠AFE=90°,

∵AC=8，∠BAC=60°，

∴∠ACF=30°,

∴AF=AC=4，EF=，

∴S△AEF=×4×=8．   

考点：1.圆的垂径定理.2.勾股定理.3.圆中弧所对的弦,圆心角,圆周角之间的联系.