Question

二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物线的顶点为D。

（1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式；

（2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数；

（3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5。且抛物线过点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),并有AD=BD。设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由。

Answer

(1) ；（2）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

【解析】

试题分析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，可求a、c的值，即可确定函数解析式；

（2）若 a=1时，计算出△的值，即可判断抛物线与x轴交点的个数；

（3）由二次函数方程算出对称轴为x=3，顶点D为（3，4-9a）。因为AD=BD，所以⊿ADB是等腰三角形且对称轴垂直平分AB。因为AB=8，所以A,B的横坐标分别为-1和7，纵坐标同为4+7a，所以⊿ADB的高就是A（或B）与D的纵坐标之差16a.因为∠AEB为锐角，所以E点在线段AB的下方（在上方则是钝角），由于弧AB所对的圆周角都相等，不妨就让△AEB为一个等腰三角形，即E的横坐标为3.过E做AB的垂线，必过圆心P，所以△AEB的高为8.

所以，比较16a和8的大小就行。当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

试题解析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，得：

，解得：

所以二次函数的解析式为：.

（2）当a=1时，；

△=（-6）2-4c=36-4c

（i）当36-4c＞0，即c＜9时，抛物线与x轴交点的个数有2个；

（ii）当36-4c=0，即c=9时，抛物线与x轴交点的个数有1个；

（iii）36-4c＜0，即c＞9时，抛物线与x轴没有交点；

（3）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

考点: 二次函数综合题.