Question

如图，点C在以AB为直径的半圆O上，以点A为旋转中心，以∠β（0°＜β＜90°）为旋转角度将B旋转到点D，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，过点C作圆O的切线交DE于点G。

（1）求证：∠GCA=∠OCB；

（2）设∠ABC=m°，求∠DFC的值；

（3）当G为DF的中点时，请探究∠β与∠ABC的关系，并说明理由。

Answer

(1)证明见解析；（2）m°；（3）∠β=180°-2∠ABC．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由AB为⊙O的直角，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，再根据切线的性质得OC⊥CG，则∠3+∠GCA=90°，然后利用等量代换即可得到∠1=∠GCA；

（2）由DE⊥AB得到∠AEF=90°，再根据等角的余角相等可得到∴∠AFE=∠ABC=m°，然后利用对顶角相等有∠DFC=∠AFE=m°；

（3）由∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC易得∠GCF=∠GFC，根据等腰三角形的判定得到GF=GC，由GD=GF得到GD=GC，则∠2=∠4，利用三角形内角和得∠2+∠GCF=×180°=90°，即∠DCF=90°，而∠ACB=90°，于是得到点B、C、D共线，然后根据旋转的性质得到△ABC以AB为腰的等腰三角形，且顶角∠BAC=β，则根据三角形内角和定理易得β=180°-2∠ABC．

试题解析：（1）证明：如图：

∵AB为⊙O的直角，

∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，

∵GC为⊙O的切线，

∴OC⊥CG，

∴∠OCG=90°，即∠3+∠GCA=90°，

∴∠1=∠GCA，

即∠GCA=∠OCB；

（2）∵∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠AEF=90°，

∴∠AFE+∠EAF=90°，

∴∠AFE=∠ABC=m°，

∴∠DFC=∠AFE=m°；

（3）∠β=180°-2∠ABC．理由如下：

∵∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC，

而∠1=∠ABC，

∴∠GCF=∠GFC，

∴GF=GC，

∵G为DF的中点，

∴GD=GF，

∴GD=GC，

∴∠2=∠4，

∴∠2+∠GCF= ×180°=90°，即∠DCF=90°，

而∠ACB=90°，

∴点B、C、D共线，

∵以点A为旋转中心，以∠β（0°＜β＜90°）为旋转角度将B旋转到点D，

∴AD=AB，∠BAD=β，

∴∠ABD=∠ADB，

∴β+2∠ABC=180°，

即β=180°-2∠ABC．

考点: 圆的综合题．