Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），且经过原点O，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m，n（m＜n）分别是方程x²-2x-3=0的两根．

（1）求m，n的值．

（2）求抛物线的解析式．

（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD．当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer

（1）m=-1，n=3；（2）y=-x2+x；（3）P1（，-），P2（，-），P3（，-）．

【解析】

试题分析：（1）解方程即可得出m，n的值．

（2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（3）首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可．

试题解析：（1）解方程x2-2x-3=0，

得 x1=3，x2=-1．

∵m＜n，

∴m=-1，n=3．

（2）∵m=-1，n=3，

∴A（-1，-1），B（3，-3）．

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x．

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b．

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为y=-x-．

∴C点坐标为（0，-）．

∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），

∴直线OB的解析式为y=-x．

∵△OPC为等腰三角形，

∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．

设P（x，-x），

（i）当OC=OP时，x2+（-x）2=．

解得x1=，x2=-（舍去）．

∴P1（，-）．

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，

∴P2（，-）．

（iii）当OC=PC时，由x2+（-x+）2=，

解得x1=，x2=0（舍去）．

∴P3（，-）．

∴P点坐标为P1（，-），P2（，-），P3（，-）．

考点: 二次函数综合题.