Question

已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，可以说明：△ACN≌△MCB，从而得到结论：AN=BM．现要求：

（1）将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上．请对照原题图在下图中画出符合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）在（1）所得到的图形中，设MA的延长线与BN相交于D点，请你判断△ABD与四边形MDNC的形状，并说明你的结论的正确性．

Answer

（1）作图见试题解析；（2）成立．证明见试题解析；（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形．理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）可以C为圆心以CA为半径，画弧交BC于A，然后分别以C，A为圆心，以CA长为半径，画弧在BC下方交于M连接CM，AM，三角形ACM就是所求的三角形；

（2）还成立，可通过证明三角形ACN和BCM来实现，这两个三角形中，CN=BC，CA=CM，这两组对应边的夹角都等于60°，因此两三角形全等，即可得出AN=BM；

（3）MA的延长线与BN相交于D点，那么对顶角DAB和CAM都应该是60°，∠NBC也是60°，那么三角形ABD是等边三角形．∠DAB=∠NCB=60°，因此MD∥CN，∠MCB=∠NBC=60°，因此CM∥NB，因此四边形CMDN就是个平行四边形．

试题解析：（1）如下图．

（2）结论“AN=BM”还成立．证明：∵CN=CB，∠ACN=∠MCB=60°，CA=CM，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM．

（3）△ABD是等边三角形，四边形MDNC是平行四边形．

证明：∵∠DAB=∠MAC=60°，∠DBA=60°，∴∠ADB=60°．∴△ABD是等边三角形，∵∠ADB=∠AMC=60°，∴ND∥CM，∵∠ADB=∠BNC=60°，∴MD∥CN，∴四边形MDNC是平行四边形．

考点：1．尺规作图；2．全等三角形的判定；3．等边三角形的判定与性质；4．平行四边形的判定．