Question

已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.

（1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若为的中点，求证：直线是⊙的切线.

Answer

（1）；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．由勾股定理，得．

（2）如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°，在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=AP=AD，∴∠4=∠3，又∵OC=OA，∴∠1=∠2，∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．

考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理．