Question

如图，在□ABDC中，分别取AC、BD的中点E和F，连接BE、CF，过点A作AP∥BC，交DC的延长线于点P．

（1）求证：△ABE≌△DCF；

（2）当∠P满足什么条件时，四边形BECF是菱形？证明你的结论．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：(1)因为ABCD是平行四边形，所以对角相等，对边相等。而E、F又是对边中点，利用“SAS”              即可证明△ABE≌△DCF

（2）∠P=90°时，四边形BECF是菱形。

要使四边形BECF是菱形，只要邻边相等即可，也就是说只要满足BE=EC即可，假设BE=EC，由于AE=EC，所以有AE=BE，BE=CE，所以∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB，而∠ABE+∠BAE+∠EBC+∠ ECB=180°（△ABC内角和）.所以2∠ABE+2∠EBC=180°，所以∠ABE+∠EBC=90°，即∠ABC=90°，由于AB//CP，AP//BC，所以四边形BAPC是平行四边形，所以∠P=∠ABC=90º.

试题解析：

（1）证明：∵ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠D,AB=CD,BD=AC

∵E、F分别为AC,BD中点

∴AE=FD

在△ABE和△DCF中，

AB=CD，∠A=∠D，AE=FD

∴△ABE≌△DCF

（2）【解析】
问题可知使四边形BECF是菱形，

∴BE=EC

又∵AE=EC

∴∠EBC=∠ECB

BE=AE

∴∠A=∠ABE

∵∠A+∠ABE+∠EBC+∠ECB=180º

∴2∠ABE+2∠EBC=180º

∴∠ABE+∠EBC=90º

∴∠ABC=90º

又∵AB//CP，AP//BC

∴四边形BAPC是平行四边形

∴∠P=∠ABC=90º

即∠P=90º时，四边形BECF是菱形

考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定；3.菱形的性质.