Question

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

（1）求线段OD的长；

（2）若tan∠C=，求弦MN的长．

Answer

（1）5；（2）4．

【解析】

试题分析：（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；

（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME=MN，再根据tan∠C=可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案．

试题解析：（1）∵CD∥AB，∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴，即，又OA=3，AC=2，∴OB=3，∴，∴OD=5；

（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，∵tan∠C=，即=，∴设OE=，则CE=，在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即，解得，在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即，解得ME=2．∴MN=4，∴弦MN的长为4．

考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质；4．解直角三角形．