Question

如图，直线AB过点A(m,0)，B(0，n)(其中m>0，n>0).反比例函数的图象与直线AB交于C，D两点，连接OC，OD.

（1）已知m＋n＝10，△AOB的面积为S，问：当n为何值时，S取最大值？并求这个最大值；

（2）若m＝8，n＝6，当△AOC，△COD，△DOB的面积都相等时，求p的值.

Answer

（1）当n＝5时，S取最大值；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意，得：OA=m，OB=n，又由m+n=10，得m=10-n，进而可得S关于m、n的关系式，结合二次函数的性质计算可得答案；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，可得关于k、b的关系式，过点D、C分别作x轴的垂线，垂足分别点E、F，由△AOC、△COD、△DOB的面积都相等，可得关系式，解可得答案．

试题解析：（1）根据题意，得OA＝m，OB＝n，∴S＝mn.

又由m＋n＝10，得m＝10－n，

∴.

∴当n＝5时，S取最大值.

（2）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵直线AB过点A(8,0)，B(0,6)，

∴，解得.∴直线AB的函数关系式为y＝x＋6.

如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点F.

当△AOC，△COD，△DOB的面积都相等时，

有S△AOC＝S△AOB，即OA×CF＝OA×OB，∴CF＝2，即C点的纵坐标为2.

将y＝2代入y＝x＋6，得x＝，即点C的坐标为.

∵点C在反比例函数图象上，∴所以.

考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.数形结合思想的应用.