Question

如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）求弦AC的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）如图，连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线，只需证明AB⊥OA即可；

（2）如图，连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理来求弦AC的长度；

（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．

试题解析：（1）证明：如图，连接OA．

∵AB=AC，∠ABC=30°，

∴∠ABC=∠ACB=30°．

∴∠AOB=2∠ACB=60°，

∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA，

又∵OA是⊙O的半径，

∴AB为⊙O的切线；

（2）【解析】
如图，连接AD．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠DAC=90°．

∵由（1）知，∠ACB=30°，

∴AD=CD=4，

则根据勾股定理知AC=，即弦AC的长是

（3）由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=，

则S△ADC=AD•AC=×4×=．

∵点O是△ADC斜边上的中点，

∴S△AOC=S△ADC=．

根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=，

即图中阴影部分的面积是．

考点: 1.线的判定；2.扇形面积的计算．