Question

点P在图形M上, 点Q在图形N上,记为线段PQ长度的最大值，为线段PQ长度的最小值，图形M，N的平均距离．

（1）在平面直角坐标系中，⊙O是以O为圆心，2的半径的圆，且A，B，求及；(直接写出答案即可)

（2）半径为1的⊙C的圆心C与坐标原点O重合，直线与轴交于点D，与轴交于点F，记线段DF为图形G，求；

（3）在（2）的条件下，如果⊙C的圆心C从原点沿轴向右移动，⊙C的半径不变，且，求圆心C的横坐标．

Answer

（1）2，4；（2）3；（3）或.

【解析】

试题分析：（1）作出图形，根据定义求解；（2）如图，过点O作OH⊥DF于点H，交圆C于点M，圆C与x轴的左交点为点N，根据点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离可知，，从而应用直线上点的坐标与方程的关系和锐角三角函数（或相似三角形）知识求出OH，进而求出MH，又，因此根据定义可求；（3）分，，，四种情况讨论即可.

试题解析：（1）如图，根据勾股定理可求：OA=1，OB=4，

∴.

∴， .

（2）如图，过点O作OH⊥DF于点H，交圆C于点M，圆C与x轴的左交点为点N，则

根据点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离可知，，

∵直线与轴交于点D，与轴交于点F，∴D（4，0），F（0，），即OD=4，OF=.

∴.∴.∴.∴.

又，∴.

（3）设点C的横坐标为x（x≥0），

当时，线段与圆无公共点，圆心离点D最远，，解得：.

当时，线段与圆无公共点，圆心离点F最远， ，解得：（不符合，舍去）.

当时，线段与圆有公共点，，解得：（舍去负值）.

当时，，不符合题意舍去.

综上所述，点C的横坐标为或.

考点：1.新定义；2. 勾股定理；3.垂直线段的性质；4. 直线上点的坐标与方程的关系；5.锐角三角函数定义；6. 特殊角的三角函数值；7.直线与圆的位置关系；8.数形结合和分类思想的应用.