Question

已知在中，，，于，点在直线上，，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.

（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；

（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得．若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】

试题分析：（1）有已给条件可猜想线段和之间的位置关系和数量关系是:⊥，=

（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.

,,,从而证得△和△全等;,再证得△和△全等,得到,从而得 ,.

（3）点在线段的延长线上时，在线段上存在点，使得. 这时

试题解析：（1）⊥，=．

（2）如图，过点A作AG⊥AB,且AG=BM,，连接CG、FG,延长AE交CM于H.

∵,,

∴∠CAB=∠CBA=45°，AB=.

∴∠GAC=∠MBC=45°.

∵,

∴CD=AD=BD=.

∵是的中点,

∴.

∴.

∵,

∴

∴

∵AG⊥AF,

∴

∴

在△和△中，

∴△≌△．

∴ ．

∴．

在△和△中，

∴△≌△．

∴．

∴.

由（1）知⊥，

∴

∴.

（3）存在.

考点：1.勾股定理,2.全等三角形的判定和性质,